Analysis by Anton Deitmar (auth.)

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  • February 26, 2017
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Von jetzt ab werden alle Aussagen uber reelle Zahlen aus diesen drei ¨ Eigenschaften hergeleitet. Bemerkung. Streng genommen gibt es hier ein Problem, denn ohne Benutzung der Dezimalzahlen ist bislang noch nicht einmal sicher, dass es die reellen Zahlen uberhaupt gibt! Es ist nicht sicher, ob ein Dedekind¨ vollst¨andiger Korper existiert! In Appendix A dieses Buches wird allerdings ¨ ein Beweis fur geliefert. ¨ die Existenz eines Dedekind-vollst¨andigen Korpers ¨ Ferner wird bewiesen, dass es bis auf Isomorphie nur einen solchen Korper ¨ gibt, den man dann R nennt.

1 bedeutet. 2. • In K = Q gilt sup[0, 1] = sup(0, 1) = 1. Also hat das offene Intervall (0, 1) kein Maximum, aber ein Supremum. • Sp¨ater wird gezeigt, dass in R das Supremum der Menge {− n1 : n ∈ N} gleich Null ist. 3. Ein angeordneter Korper K heißt Dedekind-vollst¨andig, falls ¨ jede nach oben beschr¨ankte Teilmenge ∅ M ⊂ K ein Supremum besitzt. Nach der Proposition ist also der Korper Q nicht Dedekind-vollst¨andig. Der ¨ Korper der reellen Zahlen ist Dedekind-vollst¨andig. ¨ In Appendix A wird gezeigt, dass R bis auf Isomorphie der einzige Dedekind-vollst¨andige Korper ist.

Addition und Multipli¨ kation in F2 sind durch folgende Tabellen vollst¨andig beschrieben: + 0 1 0 0 1 1 1 0 × 0 1 0 0 0 1 0 1 Anhand dieser Tabellen kann man die Korperaxiome K1-K3 uber¨ ¨ prufen. ¨ • Die Menge R der reellen Zahlen ist mit der ublichen Addition und ¨ Multiplikation ein Korper. 3. In einem K¨orper K sind die neutralen Elemente 0 und 1 eindeutig bestimmt. Ferner sind zu gegebenem a ∈ K das Inverse der Addition und, falls a 0 ist, das Inverse der Multiplikation eindeutig bestimmt.

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