A Bernstein problem for special Lagrangian equations by Yuan Y.

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  • February 26, 2017
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By Yuan Y.

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On a alors en particulier : f (Xn ) ∈ Rn [X], donc, d’après b) : −n2 + 2n + 3 = 0, c’est-à-dire n = −1 ou n = 3, donc n = 3 (puisque n ∈ N). • Réciproquement, montrons que R3 [X] est stable par f . On a, d’après b) : f (1) = 3X, f (X) = 4X2 − X, f (X2 ) = 3X3 , f (X3 ) = 3X3 . Il en résulte, puisque f est linéaire et que (1, X, X2 , X3 ) est une base de R3 [X], que R3 [X] est stable par f . On conclut qu’il existe n ∈ N unique tel que Rn [X] soit stable par f , et on a n = 3. d) 2) D’après 1), la matrice A de g dans ⎛ ⎜⎜⎜0 0 0 ⎜⎜⎜3 −1 0 (1, X, X2 , X3 ) de R3 [X] est : A = ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎝0 4 0 0 0 3 la base canonique ⎞ 0⎟⎟⎟ 0⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟.

0) . 0 ⎟⎟⎟⎟ ⎠ . . 0 −λ rg (A − In ) = n. où : 0 ... 0 ... −1 (0) . (0) . ... 0 λ 1 1 α= 1−λ+ + (n − 2) . λ−1 λ 0 −1 0 .. 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟ 0 ⎟⎟⎟⎟⎠ −1 0 0 0 On obtient : ⎧ ⎪ 3 si λ = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ rg (A − λIn ) = ⎪ n − 1 si λ 0, λ 1, α = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ n si λ = 1 ou λ 0, λ 1, α 0. Il en résulte que les valeurs propres de An sont 0 et les solutions en λ de l’équation α = 0, où λ 0 et λ 1. 36 ⇐⇒ − λ3 + 2λ2 + (n − 2)λ − (n − 2) = 0 ⇐⇒ λ3 − 2λ2 − (n − 2)λ + (n − 2) = 0 ⇐⇒ Pn (λ) = 0, • Puisque A et B sont diagonalisables dans Mn (K), il existe D, E ∈ Mn (K) diagonales, Q, R ∈ GLn (K), telles que : A = QDQ−1 et B = RER−1 .

1 ⎜⎜⎜⎜ 1 (1) ⎜⎜⎜ ⎜ . a) On note T = ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜ 1 ⎜⎜⎝ (0) ⎞ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ∈ Mn (R). Est-ce que T est inversible ? ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎠ 1 b) Calculer le produit t T T . c) On note M = Min (i, j) 1 i, j n ∈ Mn (R). Démontrer que la forme quadratique canoniquement associée à M est définie-positive. 9 Noyaux, images, rangs de matrices Soient n, p ∈ N∗ , A ∈ Mn,p (R). Montrer : Ker (A) = Ker ( t AA). 10 Exemple de produit scalaire sur R3 , d’après ESC 2009 On considère une matrice symétrique H de M3 (R) telle que H 2 = H.

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